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Simulaciones numéricas

Proyecciones sobre interfaces no conformes

Cuando se emplea una técnica de descomposición de dominios como el método mortar, es necesario integrar funciones de base definidas sobre (la traza de) un mallado multiplicadas por funciones de base definidas sobre (la traza de) otro mallado sobre la superficie de acoplamiento (que denotaremos por Gamma). Con el objeto de calcular de manera precisa dichas integrales es necesario calcular la intersección entre ambos mallados. En la presente simulación empleamos el algoritmo rápido de intersección introducido por M. J. Gander y C. Japhet en el artículo "An algorithm with optimal complexity for non-matching grid projections".

En el primer ejemplo, consideramos dos mallados diferentes de la interfaz Gamma = [-1,1] x [-1,1]x{0} (ver las figuras (a) y (b)). Ambos mallados representan de manera exacta la geometría considerada. En la figura (c) presentamos la intersección entre ambos mallados que empleamos para el cálculo de la matriz de proyección (ver la animación asociada para observar el funcionamiento del algoritmo).

First Mesh  Second Mesh

(a)  Primer mallado de la interfaz Gamma=[-1,1]x[-1,1]x{0}.
(b)  Segundo mallado de la interfaz Gamma=[-1,1]x[-1,1]x{0}.
First Intersection
(c)  Intersecciones empleadas para el cálculo de la matriz de proyección cuando se consideran los mallados representados arriba. Presionar para ver la animación [72 Kb] mov.

 

Cuando ambos mallados no representan la misma geometría, siguiendo las ideas introducidas por B. Flemish, J. M. Melenk y B. I. Wohlmuth, proyectamos localmente un mallado sobre el otro para posteriormente aplicar una (ligera) modificación del algoritmo evocado anteriormente. En las figuras (d) y (e) presentamos dos mallados de Gamma=[-1,1]x[-1,1]x{0} que no representan de manera exacta la geometría. En la figura (f) representamos las intersecciones calculadas por el algoritmo cuando proyectamos localmente el segundo mallado sobre el primero. En la figura (g) tenemos el caso opuesto. Las matrices obtenidas por ambos procedimientos no son idénticas (ver las animaciones asociadas para observar en detalle el comportamiento del algoritmo).

First Mesh  Second Mesh
(a)  Primer mallado de la interfaz Gamma=[-1,1]x[-1,1]x{0}.
(b)  Segundo mallado de la interfaz Gamma=[-1,1]x[-1,1]x{0}.
First Intersection  Second Intersection
(c)  Intersecciones empleadas para el cálculo de la matriz de proyección cuando proyectamos el segundo mallado sobre el primero. Presionar para ver la animación [72 Kb] mov.
(d)  Intersecciones empleadas para el cálculo de la matriz de proyección cuando proyectamos el primer mallado sobre el segundo. Click to animate [64 Kb] mov.

GD y potenciales retardados aplicados a la acústica en dominios no acotados

En este estudio se propone un acoplamiento de una discretización interior, basada en una aproximación espacial mediante Galerkin discontinuo, combinada con explícitas diferencias finitas en el tiempo con un método de frontera (el método de potenciales retardados) para resolver las ecuaciones de la acústica en régimen transitorio en dominios no acotados. Esto proporciona una discretización global que es estable bajo la condición CFL habitual en el dominio interior.

En este ejemplo numérico se simula la propagación de una onda esférica generada por una condición inicial en el espacio. El dominio interior es el dominio en forma de L presentado en las figuras que no es convexo (nótese que en dicha experiencia hay ondas tanto entrantes como salientes con respecto a la frontera del dominio interior). El comportamiento de la onda fuera del dominio interior se tiene en cuenta mediante el método de potenciales retardados. Puesto que no hemos considerado ningún obstáculo, ninguna reflexión espuria debido a la frontera artificial debiera ser creada. Los resultados numéricos se encuentran en perfecto acuerdo con la solucion exacta.

De izquierda a derecha, de arriba a abajo: (a) el campo de presión en el dominio interior (discretización mediante GD con polinomios P2), (b) la traza de la presión en la frontera artificial (esta incógnita se discretiza mediante polinomios P1 globalmente continuos en la interfaz), (c) la primer componente de la velocidad en el dominio interior (iscretización mediante GD con polinomios P2), (d) la traza normal de la velocidad en la frontera artificial (esta incógnita se discretiza mediante polinomios P0 en la interfaz).

Psi&Pressure Psi
Vx Phi

El método de dominios ficticios para la elastodinámica

FICT-DOM1 FICT-DOM2
Al discretizar las ecuaciones de la elastodinámica con el elemento finito Q1divx Q0 el método de dominios ficticios con una grieta diagonal falla. La amplitud de la onda transmitida no converge a cero.
Enriqueciendo el espacio de elementos finitos para el campo de velocidades utilizando el elemento Q1divx P1disc, el método de dominios ficticios proporciona una buena aproximación de la solución para cualquier configuración de la fisura.

Refinamiento de mallado espacio-temporal para la elastodinámica

REFINEMENT1 REFINEMENT2
El método conservativo preserva una energía discreta que es equivalente a la norma L2 de la solución numérica cuando la condición CFL usual se satisface. Por lo tanto, se trata de un esquema numérico muy robusto (ya que es estable bajo la condición CFL habitual) y permite utilizar una configuración cuasi-óptima en todas las regiones: la relación entre el paso de discretización temporal y espacial se puede mantener (casi) constante. Sin embargo, el bajo orden de consistencia de las condiciones de acoplamiento introducen ondas parásitas de alta frecuencia (cuya amplitud tiende a cero, pero lentamente) que pueden contaminar la solución numérica en las regiones donde la razón del refinamiento de mallado sea mayor que dos. Véanse los documentos correspondientes para detalles adicionales.
El esquema numérico que incluye el postratamiento de la solución mediante medias temporales permite reducir drásticamente las ondas parásitas de alta frecuencia generadas por el fenómeno de aliasing. De este modo, obtenemos un método numérico con las mismas propiedades de estabilidad que el método conservativo que permite obtener una buena precisión aún cuando se emplee con refinamientos con una razón entre los pasos de discretización entre los distintos dominios muy elevada.

 Dominios ficticios y refinamiento de mallado espacio-temporal para la elastodinámica

EXPERIENCE1 ZOOM1
En esta experiencia numérica se combinan el método de dominios ficticios el método de refinamiento de mallado espacio-temporal. La razón del refinamiento en cada subdominio (con respecto al que lo contiene) es de 4. En consecuencia, estamos utilizando una malla que es de 16 veces más fina en los extremos de las fisuras, si lo comparamos con la malla que estamos utilizando es la mayor parte del dominio computacional. Las singularidades de la solución están bien resueltas. Usamos el elemento finito Q1div x P1disc en las regiones que interactúan con las grietas (lugares donde empleamos el método de dominios ficticios). En las demás regiones se utiliza el elemento Q1div x Q0 ya que es más económico desde el punto de vista computacional.
Este es un detalle del experimento numérico. Se puede ver el tamaño de los elementos de la malla gruesa. En las regiones refinadas la resolución es mucho mayor ya que los elementos son mucho más pequeños.
REF-FD-Couplage.mpg [8274 kb] mov (In french).
REF-FD-Couplage-Zoom.mpg [5714 kb] mov (In french).