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Temas de investigación

Proyectos en curso

Acoplamiento de DF-GD (FEM) con PR (BEM). Aplicación a la aeroacústica

Colaboradores: Toufic Abboud (IMACS), Patrick Joly (INRIA-Rocquencourt), Isabelle Terrasse (EADS).

Psi&Pressure En muchos problemas de propagación de ondas el dominio de cálculo es homogéneo y no acotado. En esos casos, el método de potenciales retardados (RPBEM) se muestra eficaz (sobre todo cuando se combina con el algoritmo multipolo rápido (FMM)). En efecto, los cálculos se realizan sobre una superficie (en una curva) en aplicaciones 3D (2D), el número de incógnitas es mucho menor en comparación con un método de volumen (como el método de elementos finitos (FEM)). Por otra parte, el error de dispersión en problemas con tiempos de propagación elevados es reducida.
Por otra parte, en presencia de heterogeneidades, la solución fundamental no puede ser obtenida por lo que el método no puede aplicarse. En esta situación (medios heterogéneos y con geometría compleja), una discretización mediante Galerkin discontinuo en espacio y diferencias finitas en tiempo (FD-GDFEM) en una buena elección. Sin embargo, el número de grados de libertad (y en consecuencia el tiempo de CPU) puede ser muy grande. Proponemos un método estable (a través de la conservación de energía discreta) que permite utilizar el FD-DGFEM en los subdominios donde se localizan las heterogeneidades, resolviendo mediante RPBEM en las demás regiones.

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El método de bases reducidas aplicado a problemas de propagación de ondas

Colaboradores: Yanlai Chen (University of Massachusetts Dartmouth), Jan S. Hesthaven (Brown University), Yvon Maday (Paris 6).

Helmholtz Supongamos que tenemos una ecuación en derivadas parciales (EDP) dependiendo de una familia de parámetros (que pueden estar relacionados, por ejemplo, a las propiedades físicas del modelo que ha tenido en cuenta o con la geometría del problema). Consideramos que una salida obtenida mediante la evaluación de un funcional sobre la solución de esa EDP para un valor arbitrario de los parámetros (en un cierto rango). Nuestro objetivo es obtener una aproximación precisa de dicha salida con un procedimiento rápido. El método de bases reducidas calcula la solución de la EDP dependiente del parámetro como una combinación lineal de soluciones (previamente pre-calculadas) para un conjunto de muestras de los parámetros cuidadosamente seleccionadas. Este método ha sido aplicado recientemente a ecuaciones elípticas proporcionando buenos resultados en términos de precisión y velocidad de cálculo. Los principales objetivos son la adaptación de estas técnicas a problemas de propagación de ondas y analizar el error cometido.

Proyectos pasados

Discretización temporal de alto orden para problemas hiperbólicos de segundo orden optimizando la condición CFL

Colaboradores: Patrick Joly (INRIA-Rocquencourt).

Investigamos discretizaciones de orden elevado para problemas lineales hiperbólicos de segundo orden. Estudiamos los métodos de orden par (2m) obtenidos mediante el método de la ecuación modificada. Demostramos que la cota superior del número CFL (proporcionando la estabilidad del método) permanece acotada cuando el orden del método aumenta. Proponemos variantes de estos esquemas numéricos construidos para optimizar la condición CFL. El problema de optimización correspondiente se analiza en detalle y proporciona un algoritmo específico. Estos esquemas se han implementado en el marco de la ecuación de ondas escalar cuando se utiliza un método de orden elevado para la para la discretización espacial. Los órdenes de convergencia numéricos se corresponden con los proporcionados por la teoría.

Refinamiento de mallado espacio-temporal para la elastodinámica

Colaboradores: Eliane Bécache (INRIA-Rocquencourt), Patrick Joly (INRIA-Rocquencourt).

REFINEMENT1 Estamos interesados por la resolución numérica de las ecuaciones de la elastodinámica empleando esquemas numéricos explícitos en tiempo. El enfoque que hemos seguido emplea una discretización espacial mediante elementos finitos mixtos combinada con una discretización temporal utilizando diferencias finitas no disipativas de orden dos. Con el objetivo de capturar los detalles geométricos o las singularidades de la solución, en ocasiones es útil aplicar técnicas de refinamiento de mallado local basadas en mallados no conformes y sin solapamiento, tanto en espacio como en tiempo. El acoplamiento en las interfaces se efectúa mediante la técnica mortar combinada con una discretización temporal asegurando la conservación de una energía discreta que proporciona la estabilidad del esquema numérico cuando la condición CFL habitual se satisface.

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El método de dominios ficticios para la elastodinámica

Colaboradores: Eliane Bécache (INRIA-Rocquencourt), Chrysoula Tsogka (University of Crete).

FICT-DOM2 El modelo que hemos elegido asume que las tensiones normales sobre las fisuras se anulan (condición que llamamos de superficie libre). Dado que el método de elementos finitos mixtos que hemos considerado utiliza mallas regulares, utilizamos el método de dominio ficticio para tener en cuenta esta condición de Neuman homogénea con el fin de evitar los problemas asociados a la aproximación de la frontera por mallas regulares. La condición de contorno se impone de forma débil introduciendo una incógnita adicional (el salto del campo de velocidades a través de la grieta) en la interfaz física. Esta variable se discretiza utilizando una malla de la superficie. La principal ventaja del método es que las mallas utilizadas para las incógnitas de volumen no depende de la geometría. Se han considerado diferentes espacios de elementos finitos. Hemos sido capaces de demostrar la convergencia del método de la ecuación de ondas escalar con una formulación de primer orden. La prueba de convergencia para elastodinámica sigue siendo un problema abierto debido a algunas dificultades provenientes de la simetría del tensor de tensiones.

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Acoplamiento del método de dominios ficticios y técnicas de refinamiento de mallado espacio-temporal para la elastodinámica

Colaboradores: Eliane Bécache (INRIA-Rocquencourt), Patrick Joly (INRIA-Rocquencourt), Chrysoula Tsogka (University of Crete).

EXPERIENCE1 Es bien sabido que la solución de las ecuaciones de la elastodinámica presenta un comportamiento singular en los extremos de las fisuras. En consecuencia, es deseable emplear mallas finas en un entorno de dichas regiones para obtener una buena aproximación. Por ello, nos interesamos por el acoplamiento de dos técnicas: las técnicas de refinamiento de mallado espacio-temporal (previamente mencionadas) y el método de dominios ficticios. Cuando la grieta está completamente incluida en la región refinada, el algoritmo no presenta ninguna dificultad adicional. Sin embargo, cuando la interfaz artificial (asociada al refinamiento) cruza a la frontera física (asociada a la grieta), se plantean varias dificultades desde el punto de vista teórico. Hemos sido capaces de construir dos algoritmos de acoplamiento que permiten conservar las mismas propiedades de estabilidad que ambas técnicas tenían por separado. En consecuencia, el método numérico es estable. La prueba de convergencia es también una cuestión abierta.

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